$5\sin x-12\cos x=m$ (*)
ĐK có nghiệm: $5^2+12^2\ge m^2$
$\Leftrightarrow m^2\le 169$
$\Leftrightarrow |m|\le 13$
$\Leftrightarrow -13\le m\le 13$
$\Rightarrow m\in\{-13;-12;...;12;13\}$
Vậy số số nguyên m làm cho phương trình (*) có nghiệm là:
$(13+13):1+1=27$