Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\), biểu diễn \(P = x + y\) và \(S = xy\) theo \(t\).
- Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) (ẩn t).
- Tìm điều kiện để phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của \(t\).
- Từ đó chặn khoảng giá trị của \({x^2} + {y^2}\) và tìm các số nguyên x thỏa mãn.
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y
e 0\end{array} \right.\).
Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\)
Khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) phải có nghiệm, khi đó ta có \(\Delta {'_{\left( * \right)}} \ge 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} - 2.\left( {{9^t} - {4^t}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left( C \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\).
Tập hợp các cặp giá trị của \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (I) là miền bôi đậm.
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
