Đáp án:
$3$
Giải thích các bước giải:
Đặt $z = a + bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)$
Ta có:
$+)\quad |z + 1 - 3i| = 3\sqrt2$
$\to |a + 1 + (b-3)i| = 3\sqrt2$
$\to \sqrt{(a+1)^2 + (b-3)^2} = 3\sqrt2$
$\to (a+1)^2 + (b-3)^2 = 18$
$+)\quad (z + 2i)^2$
$= [a + (b+2)i]^2$
$= a^2 - (b+2)^2 + 2a(b+2)i$
$(z+2i)^2$ là số thuần ảo
$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2 - (b+2)^2 = 0\\a\ne 0\\b\ne - 2\end{cases}$
Ta được hệ phương trình:
$\quad \begin{cases}(a+1)^2 +(b-3)^2 = 18\\a^2 - (b+2)^2 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}a = 2\\b = 0\end{cases}\\\begin{cases}a = - 3 - \sqrt5\\b = 1+\sqrt5\end{cases}\\\begin{cases}a = \sqrt5 - 3\\b = 1 -\sqrt5\end{cases}\end{array}\right.$
Vậy $z = 2;\ z = - 3 - \sqrt5 + (1+\sqrt5)i$ hoặc $z = \sqrt5 - 3 + (1-\sqrt5)i$
