Có n(n+1)+(n+2)(n+5)
= n²+n+n²+7n+10
= 2n²+ 8n+10
Gỉa sử n(n+1)+(n+2)(n+5) chia hết cho 3
=> 2n²+ 8n+10 chia hết cho 3
Có 2n²+ 8n+10= 2n²+2n+4+6n+6= 2n²+2n+4+6(n+1)
Mà 6(n+1) chia hết cho 3
=> 2n²+2n+4 chia hết cho 3
=> 2(2n²+2n+4) chia hết cho 3
=> 4n²+ 4n+8 chia hết cho 3
=> 4n²+ 4n+1+7 chia hết cho 3
=> (2n+1)²+ 7 chia hết cho 3
TH1: 2n+1 chia hết cho 3 => (2n+1)² chia hết cho 3
=> (2n+1)²+ 7 chia 3 dư 1
=> (2n+1)²+ 7 không chia hết cho 3
TH2: 2n+1 không chia hết cho 3 => 2n+1: 3 dư 1, 2 => (2n+1)² chia 3 dư 1
=> (2n+1)²+ 7 chia 3 dư 2
=> (2n+1)²+ 7 không chia hết cho 3
Vậy không tồn tại n để n(n+1)+(n+2)(n+5) chia hết cho 3
