Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên? A.\(1\) B.\(2\) C.\(6\) D.\(12\)
Phương pháp giải: - Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\). - Sử dụng tổ hợp, xác định số đường thẳng đi qua những điểm có tọa độ nguyên vừa xác định được. Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Trước hết ta đi tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\). Ta có: \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 2 + 5}}{{x - 1}} = 2 + \dfrac{5}{{x - 1}}\). Để \(y \in \mathbb{Z}\) thì \(x - 1 \in \) Ư(5)\( = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\). Ta có bảng sau:
Do đó có 4 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số là \(\left( {2;7} \right)\), \(\left( {0; - 3} \right)\), \(\left( {6;3} \right)\), \(\left( { - 4;1} \right)\). Cứ qua 2 trong 4 điểm trên ta vẽ được 1 đường thẳng, và đường thẳng này thỏa mãn điều kiện cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm mà giao điểm đó có tọa độ nguyên. Vậy có \(C_4^2 = 6\) đường thẳng thỏa mãn. Chọn C.