Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ (gt)
`=>AB=a; OA=OC; OB=OD`; $AC\perp BD$ tại $O$
`=>AO` là đường trung trực $∆ABD$
`\qquad BO` là đường trung trực của $∆ABC$
Vẽ đường trung trực $d$ của $AB$ cắt $AB$ tại $M$
`=>M` là trung điểm $AB$
`=>AM=MB={AB}/2=a/2`
Gọi $E$ là giao điểm của $d$ và $AO$
`=>E` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABD$
`=>R_1=AE`
Gọi $F$ là giao điểm của $d$ và $BO$
`=>F` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$
`=>R_2=BF`
$\\$
Xét $∆AOB$ và $∆AME$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AOB}=\hat{AME}=90°`
`=>∆AOB∽∆AME` (g-g)
`=>{AB}/{AE}={AO}/{AM}`
`=>AE={AB.AM}/{AO}={a. a/2}/{AO}={a^2}/{2AO}`
`=>R_1^2=AE^2={a^4}/{4AO^2}`
`=>1/{R_1^2}={4AO^2}/{a^4}` $(1)$
$\\$
Xét $∆AOB$ và $∆FMB$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{AOB}=\hat{FMB}=90°`
`=>∆AOB∽∆FMB` (g-g)
`=>{AB}/{FB}={OB}/{MB}`
`=>FB={AB.MB}/{OB}={a. a/2}/{OB}={a^2}/{2OB}`
`=>R_2^2=FB^2={a^4}/{4OB^2}`
`=>1/{R_2^2}={4OB^2}/{a^4}` $(2)$
$\\$
`∆OAB` vuông tại $O$
`=>AO^2+OB^2=AB^2=a^2` $(3)$ (định lý Pytago)
Từ `(1);(2);(3)`
`=>1/{R_1^2}+1/{R_2^2}={4AO^2}/{a^4}+{4OB^2}/{a^4}`
`=4/{a^4}. (AO^2+OB^2)=4/{a^4}. a^2=4/{a^2}`
Vậy: `1/{R_1^2}+1/{R_2^2}=4/{a^2}`
