Vì `{AM}/{AH}={DN}/{DC}` (gt)
`=>1-{AM}/{AH}=1-{DN}/{DC}`
`=>{AH-AM}/{AH}={DC-DN}/{DC}`
`=>{MH}/{AH}={NC}/{DC}` $(1)$
$\\$
Vẽ $ME\perp BC$ tại $E$; $ME$ cắt $BH$ tại $F$
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật (gt)
`=>`$AB\perp BC$ và $AB=DC$; $AB$//$DC$
`=>ME`//$AB$
`=>MF`//$AB$//$DC$
$\\$
Xét $∆ABH$ có $MF$//$AB$
`=>{MF}/{AB}={MH}/{AH}` (hệ quả định lý Talet)
`=>{MF}/{DC}={MH}/{AH}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>{MF}/{DC}={NC}/{DC}`
`=>MF=NC`
Mà $MF$//$NC$ (do $MF$//$DC$)
`=>MNCF` là hình bình hành
`=>CF`//$MN$ $(3)$
$\\$
Xét $∆BCM$ có:
`\qquad BH`$\perp CM$
`\qquad ME`$\perp BC$
`\qquad BH` cắt $ME$ tại $F$
`=>F` là trực tâm $∆BCM$
`=>CF`$\perp BM$ $(4)$
$\\$
Từ `(3);(4)=>MN`$\perp BM$
`=>∆BMN` vuông tại $M$
Gọi $I$ là trung điểm $BN$
`=>MI; CI` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông: $∆BMN;∆BCN$
`=>MI=NI=BI=1/2BN=CI`
`=>M;B;C;N` cùng thuộc đường tròn tâm $I$ đường kính $BN$
