$$\boxed{\quad r = \dfrac{S}{p}\quad}$$
$r:$ bán kính đường tròng nội tiếp
$p:$ nửa chu vi
Chứng minh:
Gọi $O$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ và $D,\ E,\ F$ lần lượt là các tiếp điểm giữa $(O)$ và $AB, BC, CA$
$\Rightarrow OD = OE = OF = r$
Ta có:
$S_{AOB}=\dfrac12AB.OD=\dfrac12\cdot c\cdot r$
$S_{BOC}=\dfrac12BC.OE=\dfrac12\cdot a\cdot r$
$S_{COA}=\dfrac12CA.OF=\dfrac12\cdot b\cdot r$
Cộng vế theo vế ta được:
$S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}=\dfrac12cr + \dfrac12ar +\dfrac12br$
$\Leftrightarrow S_{ABC}=\dfrac12r(a+b+c)$
$\Leftrightarrow S = pr$
$\Leftrightarrow r = \dfrac Sp$
Với $p =\dfrac{a+b+c}{2}:$ nửa chu vi
$$\boxed{\quad R= \dfrac{abc}{4S}\quad}$$
$R:$ bán kính đường tròn ngoại tiếp
Ta có:
$\quad 2R =\dfrac{a}{\sin A}$
$\Leftrightarrow R =\dfrac{a}{2\sin A}$
$\Leftrightarrow R =\dfrac{abc}{2bc\sin A}$
$\Leftrightarrow R =\dfrac{abc}{4S}$
