Đáp án:
`a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)` không phải là số nguyên.
Giải thích các bước giải:
Cách chứng minh bài toán: Chứng minh lớn hơn `1` và nhỏ hơn `2.`
Bài giải:
Vì `a,b,c` là số nguyên dương nên
Ta có:
`a/(a+b) > a/(a+b+c)`
`b/(b+c) > b/(a+b+c)`
`c/(c+a) > c/(a+b+c)`
Suy ra `a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1.`
`=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > 1.` `(1)`
Lại có:
`a/(a+b)<1 => a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c).`
`b/(b+c)<1 => b/(b+c)<(a+b)/(a+b+c).`
`c/(c+a)<1 => c/(c+a)<(b+c)/(a+b+c).`
`=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < (a+c)/(a+b+c)+(a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(a+b+c)=(a+b+c+a+b+c)/(a+b+c)=(2\times(a+b+c))/(a+b+c)=2.`
`=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2.` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `1 < a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2.`
`=>` `a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)` không phải là số nguyên.
Vậy `a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)` không phải là số nguyên.
