Đáp án: $GTNN$ của $F = 24 ⇔ a = 1; b = 2; c = 3$
Giải thích các bước giải:
$ a² + 2b² + 2c² + 2b(a - 2) + 2c(a - 3) + 2bc ≤ 23$
$ ⇔ (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca) + (b² - 4b + 4) + (c² - 6c + 9) ≤ 36$
$ ⇔ (a + b + c)² + (b - 2)² + (c - 3)² ≤ 36$
$ ⇒ (a + b + c)² ≤ 36 ⇔ 0 < a + b + c ≤ 6$
$ Max(a + b + c) = 6 ⇔ b - 2 = c - 2 = 0 ⇔ b = 2; c = 3; a = 1 (1)$
Áp dụng $BĐT AM - GM$ và $(1)$ ta có:
$ F = a + b + 2c + \dfrac{2}{a} + \dfrac{8}{b} + \dfrac{27}{c} $
$ = 2(a + \dfrac{1}{a}) + 2(b + \dfrac{4}{b}) + 3(c + \dfrac{9}{c}) - (a + b + c)$
$ ≥ 2.2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} + 2.2\sqrt{b.\dfrac{4}{b}} + 3.2\sqrt{c.\dfrac{9}{c}} - 6$
$ = 4 + 8 + 18 - 6 = 24$
Vậy $GTNN$ của $F = 24$ xảy ra khi :
$ a = \dfrac{1}{a} ⇔ a = 1; b = \dfrac{4}{b} ⇔ b = 2; c = \dfrac{9}{c} ⇔ c = 3$
$ ⇒ a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6$ thỏa mãn $(1)$
