Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Để dễ nhìn đặt $: a = \dfrac{x}{y}; b = \dfrac{y}{z}; c = \dfrac{z}{x} ⇒ abc = 1$
Áp dụng $BĐT AM - GM$ ( theo yêu cầu)
$4a + \dfrac{1}{a} ≥ 2\sqrt[]{4a.\dfrac{1}{a}} = 4 (1)$. Dấu $'=' ⇔ 4a = \dfrac{1}{a} ⇔ a = \dfrac{1}{2}$
$4b + \dfrac{4}{b} ≥ 2\sqrt[]{4b.\dfrac{4}{b}} = 8 (2)$. Dấu $'=' ⇔ 4b = \dfrac{4}{b} ⇔ b = 1$
$ c + \dfrac{4}{c} ≥ 2\sqrt[]{c.\dfrac{4}{a}} = 4 (3)$. Dấu $'=' ⇔ c = \dfrac{4}{c} ⇔ c = 2$
$(1) + (2) + (3) : \dfrac{4}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + 4a + 4b + c ≥ 16$
$ ⇔ 4ab + bc + 4ca + 4a + 4b + c ≥ 16$ ( vì $ abc = 1$)
$ ⇔ 12ab + 9bc + 12ca + 12a + 12b + 9c ≥ 8(abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1)$
$ ⇔ 12b(a + 1) + 9c(b + 1) + 12a(c + 1) ≥ 8(a + 1)(b + 1)(c + 1)$
$ ⇔ \dfrac{4b}{(b + 1)(c + 1)} + \dfrac{3c}{(c + 1)(a + 1)} + \dfrac{4a}{(a + 1)(b + 1)} ≥ \dfrac{8}{3} $
$ ⇔ \dfrac{4xy}{(x + z)(y + z)} + \dfrac{3yz}{(y + x)(z + x)} + \dfrac{4zx}{(x + y)(y + z)} ≥ \dfrac{8}{3} (đpcm)$
Dấu $'='$ xảy ra khi:
$ \dfrac{x}{y} = a = \dfrac{1}{2} ⇔ y = 2x; \dfrac{y}{z} = b = 1 ⇔ y = z ; \dfrac{z}{x} = c = 2 ⇔ z = 2x $
$ ⇔ y = z = 2x$
