$\text{Đáp án:}$
$a)\text{Xét ΔABC vuông tại A ta có:}$
$\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}$
$⇒AC=BC.\sin(\widehat{ABC})$
$⇒AC=20.\sin(30^o)$
$⇔AC=10(cm)$
$\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$
$⇒AB=\cos(\widehat{ABC}).BC$
$⇒AB=20.\cos(30^o)$
$⇔AB=10\sqrt{3}$
$b)\text{Vì phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc với nhau nên $\widehat{MCN}=90^o$}$
$\text{Lại có:}$
$\widehat{AMC}=90^o$
$\widehat{ANC}=90^o$
$⇒\text{Tứ giác AMCN là hình chữ nhật}$
$\text{Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo}$
$⇒ OM=OC=OA=ON$
$⇒ΔMOC \text{cân tại O}$
$⇒\widehat{OMC}=\widehat{OCM}$
$\widehat{OCM}=\widehat{MCB}\text{(CM là tia phân giác)}$
$⇒\widehat{OMC}=\widehat{MCB}$
$\text{Mà 2 góc ở vị tí so le trong⇒MN||BC}$
$MN=AC\text{(Do tứ giác AMCN là hình chữ nhật) }$
$c)\text{Vì CM là tia phân giác }$
$⇒\widehat{MCB}=\widehat{ACM}= \dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $
$\text{Mà ΔABC vuông tại A lại có $\widehat{ABC}=30^o⇒\widehat{ACB}=60^o$ }$
$⇒\widehat{ACM}=\widehat{ABC}=30^o$
$\widehat{AMC}=\widehat{BAC}=90^o$
$⇒ΔAMC\backsim\widehat{BAC}(g.g)$
$⇒\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}$
