\(\begin{array}{l}
\quad mx^2 - 2(m-1)x + 4m - 1 =0\\
\Delta ' = (m-1)^2 - m(4m-1) = -3m^2 - m + 1\\
a)\quad \text{Phương trình có hai nghiệm trái dấu}\\
\Leftrightarrow m(4m - 1) <0\\
\Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{4}\\
b)\quad \text{Phương trình có hai nghiệm phân biệt}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne 0\\\Delta' >0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\\left[\begin{array}{l}m > \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6}\\m < \dfrac{-1 -\sqrt{13}}{6}\end{array}\right.\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6}\\m < \dfrac{-1 -\sqrt{13}}{6}\end{array}\right.\\
c)\quad \text{Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\\Delta ' >0\\S >0\\P>0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\\left[\begin{array}{l}m > \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6}\\m < \dfrac{-1 -\sqrt{13}}{6}\end{array}\right.\\\dfrac{2(m-1)}{m} >0\\\dfrac{4m-1}{m} >0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m >1\\m < \dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}\end{array}\right.\\
d)\quad \text{Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\\Delta ' >0\\S <0\\P>0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\\left[\begin{array}{l}m > \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6}\\m < \dfrac{-1 -\sqrt{13}}{6}\end{array}\right.\\\dfrac{2(m-1)}{m} <0\\\dfrac{4m-1}{m} >0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6} < m < 1
\end{array}\)
