$d_{1}:y=x+2 \quad (1)$
$d_{2}:y=2x+1$
$d_{3}:y=(m^{2}+1)+m$
$\text{Hoành độ giao điểm của}$
$d_{1}, d_{2} \text{là nghiệm của phương trình:}$
$x+2=2x+1$
$\Leftrightarrow x=1$
$\text{Thay x=1 vào (1):} y=1+2=3$
$\Rightarrow A(1;3)$
$\text{Để 3 đường thẳng đồng quy}\Leftrightarrow d_{3}\text{ }\text{đi qua A(1;3)}$
$\text{Thay A(1;3) vào} \text{ } d_{3}: 3=m^{2}+m+1$
$\Leftrightarrow m^{2}+m-2=0$
$\Leftrightarrow $\(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-2\end{array} \right.\)
$\text{Vậy m=1 hoặc m=-2 thỏa mãn đề bài}$
