Đáp án: $D$
Giải thích các bước giải:
Gọi $Q(x,y)$
Ta có: $(C)$ có tâm $I(2;3)$
Nhận xét: Để $d(Q,\Delta) \max \to Q$ có vị trí như trên hình.
Khi đó:
$Q$ thuộc đường thẳng $(d)$ đi qua $I$ và $d\perp \Delta $
Ta có:
$d$ nhận $\vec{n}=\vec{u}_{\Delta}=(1;1)$ làm pháp tuyến.
$\to d: 1(x-2)+1(y-3)=0$ hay $d: x+y-5=0$
Khi đó: Tọa độ của $Q$ thỏa mãn hệ:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 5 = 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - y + 5\\
{\left( { - y + 5 - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - y + 5\\
2{\left( {y - 3} \right)^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - y + 5\\
\left[ \begin{array}{l}
y - 3 = 1\\
y - 3 = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 4;x = 1\\
y = 2;x = 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
$\to Q(1;4)$ hoặc $Q(3;2)$
Dựa vào hình vẽ $\to Q(1;4)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Khi đó: $\alpha ^2+\beta ^2=x^2+y^2=1^2+4^2=17$
Vậy $\alpha ^2+\beta ^2=17$
