$\quad y = \ln(x+2a)\quad (x+2a > 0)$
a) Ta có:
$\quad y' = \dfrac{1}{x+2a}$
$\quad y'' = -\dfrac{1}{(x+2a)^2}$
$\quad y''' = \dfrac{2}{(x+2a)^3}$
b) Dự đoán:
$\quad y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+2a)^n}$
Chứng minh:
+ Với $n = 1$ ta được:
$\quad y' = \dfrac{(-1)^0.0!}{x+2a} = \dfrac1x$ (đúng)
+ Giả sử công thức đúng với $n = k:$
$\quad y^{(k)}= \dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(x+2a)^k}$
+ Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k +1$
Tức là: $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^{k}k!}{(x+2a)^{k+1}}$
Thật vậy, ta có:
$\quad y^{(k+1)}= \left[y^{(k)}\right]'$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \left[\dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(x+2a)^k}\right]'$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}(k-1)!.[(x+2a)^{-k}]'$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-k).(x+2a)^{-k-1}$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-1).k\cdot \dfrac{1}{(x+2a)^{k+1}}$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{(x+2a)^{k+1}}$
Vậy công thức $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{(x+2a)^{k+1}}$ đúng
Do đó $y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+2a)^n}\quad \forall n\in\Bbb N^*$
