Giải thích các bước giải:
Lấy D' thuộc AC sao cho A là trung điểm của CD'.
Khi đó BA là đường trung tuyến trong tam giác BD'C. Mà : BG=2GA suy ra G là trọng tâm tam giác BD'C. Do đó: D',G,M thẳng hàng .
Suy ra D' trùng với D.
Do đó: DA=AB=AC suy ra tam giác DBC vuông cân tại B.
Qua C dựng đường thẳng vuông góc với CB cắt AB tại S.
Vì ABC vuông cân nên: \(\widehat{ABC}=45^{\circ} \Rightarrow \widehat{BSC}=45^{\circ} \Rightarrow \) BCS vuông cân tại C. Suy ra DB=BC=CS, AS=AB=AC.
Gọi K là giao của CG và DB thì K là trung điểm của BD.
Xét tam giác BMS và tam giác DKC có: \(BM=DK=\frac{1}{2}BD, SB=CD, \widehat{SBM}=\widehat{CDK}=45^{\circ} \Rightarrow \triangle{SBM}=\triangle{CDK} \Rightarrow \widehat{BSM}=\widehat{DCK} \Rightarrow \widehat{BSM}+\widehat{SGC}=\widehat{DCK}+\widehat{SGC}=90^{\circ} \Rightarrow MS \perp CG \Rightarrow\) M,E,S thẳng hàng.
Gọi N là trung điểm của SC. DN cắt SE tại I.
Ta thấy: SC // DB vì cùng vuông góc với BC.
Xét tam giác DKN và tam giác CNK có: \(DK=CN, KN chung , \widehat{DKN}=\widehat{CNK} \Rightarrow \triangle{DKN}=\triangle{CNK} \Rightarrow \widehat{KND}=\widehat{NKC} \Rightarrow CK // DN\)
Suy ra \(DN \perp SE\).
Mặt khác NI // CE, N là trung điểm của SC nên NI là đường trung bình trong tam giác SCE suy ra I là trung điểm của SE.
Xét tam giác DES có DI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến suy ra tam giác SDE cân tại D suy ra DE=DS.
Mà: AD=AB=AS nên dễ suy ra tam giác SDB vuông cân tại D nên: DS=DB=BC.
Do đó: DE=BC
