Cho $n, k$ là các số tự nhiên. Giả sử ta có
$n(n+1) = k^2$
Suy ra
$k = \sqrt{n(n+1)} = \sqrt{n^2 + n}$
Với $n$ và $n + 1$ đều khác 0 ta có
$n < \sqrt{n^2 + n} < n+1$
Thật vậy, ta có
$\sqrt{n^2 + n} > \sqrt{n^2} = n$
Mặt khác, ta có
$2n + 1 > n$
$\Leftrightarrow n^2 + 2n + 1 > n^2 + n$
$\Leftrightarrow (n+1)^2 > n^2 + n$
$\Leftrightarrow n+1 > \sqrt{n^2 + n}$
Suy ra
$n < \sqrt{n^2 + n} < n+1$
Ta thấy $n$ và $n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp, suy ra $\sqrt{n^2 + n}$ không là số tự nhiên.
Vậy với $n$ và $n+1$ khác 0 thì $n^2 + n$ là số chính phương.
Với $n = 0$ hoặc $n = -1$ thì ta có
$n^2 + n = 0 = 0^2$
hay $k = 0$.
