Gọi `(O)` là đường tròn ngoại tiếp của tam giác `ABC` và `M,N,P` lần lượt là trung điểm của `BC,CA,AB`
Vì tam giác `ABC` nhọn nên `O` nằm trong tam giác `ABC`
Do `\hat{ABC} = 60^o` nên `\hat{MOC} = 60^o`
`=> OA = OB = OC = (MC)/(sin 60^o) = 2`
Vì `O` nằm trong tam giác `ABC` và `OM \bot BC ; ON \bot AC ; OP \bot AB` nên tam giác `ABC` được chia thành `3` tứ giác `ANOP , BMOP , CMON` nội tiếp các đường tròn có đường kính `2` (đường kính đó lần lượt là `OA,OB,OC`)
Áp dụng định lí Dirichle , tồn tại ít nhất một trong `3` tứ giác này chứa ít nhất `5` điểm trong `13` điểm đã cho,giả sử đó là tứ giác `ANOP`
Gọi `E,F,G,H` lần lượt là trung điểm của `NA,AP,PO,OON` và `I` là trung điểm `OA`
`=> IA = IP = IO = IN = 1`
Khi đó tứ giác `ANOP` được chia thành `4` tứ giác `AEIF,FIGP,IGOH,IHNE` nội tiếp các đường tròn có đường kính `1`
Theo nguyên lí của Dirichle , tồn tại ít nhất một trong `4` tứ giác này chứa ít nhất `2` điểm trong `5` điểm đã cho , giả sử đó là tứ giác `AEIF` chứa 2 điểm `X,Y` trong số `13` điểm đã cho`
Vì `X,Y` nằm trong tứ giác `AEIF` nên` X,Y` nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này , do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này hay nói cách khác khoảng cách giữa `X,Y` không vượt quá `1`
