Điều kiện của m để phương trình $(x+1)\log _{2}^{2}(x+3)-2m\sqrt{{2(x+1)}}{{\log }_{2}}(x+3)+m+1=0$ có đúng 2 nghiệm là A. $1<m\le \frac{9}{7}.$ B. $-1<m\le \frac{9}{7}.$ C. $-1<m<\frac{9}{7}.$ D. $1\le m\le \frac{9}{7}.$
Đáp án đúng: A + Điều kiện xác định là $x\ge -1.$ + Đặt$u=\sqrt{{2(x+1)}}{{\log }_{2}}(x+3),u\ge 0$ thì phương trình trở thành${{u}^{2}}-4mu+2m+2=0(2).$ + Xét hàm số$u(x)=\sqrt{{2(x+1)}}{{\log }_{2}}(x+3)$ trên đoạn$\left[ {-1;1} \right]$ thì ta có hàm số đồng biến (theo định nghĩa). Mà$u(-1)\le u\le u(1)<=>0\le u\le 4$ nên đề bài chuyển thành tìm m để phương trình (2) có đúng hai nghiệm thuộc$\left[ {0;4} \right].$ + Phương trình (2) cô lập m ta có${{u}^{2}}+2=2m(2u-1)<=>2m=f(u)=\frac{{{{u}^{2}}+2}}{{2u-1}}(2u-1 e 0).$ Khảo sát hàm số này thì$1<m\le \frac{9}{7}.$