Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔBAM` và `ΔDAM` có :
`hat{BAM} = hat{DAM}` (Do `AM` là đường phân giác)
`AM` chung
`AB = AD` (giả thiết)
`-> ΔBAM = ΔDAM` (cạnh - góc - cạnh)
`-> MB = MD` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$b,$
Do `ΔBAM = ΔDAM` (chứng minh trên)
`-> hat{ABM} = hat{ADM}` (2 góc tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABM}+\widehat{EBM}=180^o\\ \widehat{ADM}+\widehat{CDM}=180^o\end{array} \right.\) (2 góc kề bù)
mà `hat{ABM} = hat{ADM}` (chứng minh trên)
`-> hat{EBM} = hat{CDM}`
Xét `ΔEBM` và `ΔCDM` có :
`hat{EBM} = hat{CDM}` (chứng minh trên)
`hat{BME} = hat{DMC}` (2 góc đối đỉnh)
`MB =MD` (chứng minh trên)
`-> ΔEBM = ΔCDM` (góc - cạnh - góc)
`-> BE = DC` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + BE = AE\\AD + DC =AC\end{array} \right.\)
mà `AB=AD` (giả thiết), `BE = DC` (chứng minh trên)
`-> AE = AC`
`-> ΔAEC` cân tại `A`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `hat{ABM} = hat{ADM}` (chứng minh trên)
hay `hat{ABC} = hat{ADE}`
Có : `hat{ABC} + hat{EBM} = 180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{EBM} = 180^o - hat{ABC}`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔADE` có :
`hat{A} + hat{BEM} + hat{ADE} = 180^o`
mà `hat{ABC} = hat{ADE}` (chứng minh trên)
`-> hat{A} + hat{BEM} + hat{ABC} = 180^o`
`-> hat{BEM} = 180^o - hat{ABC} - hat{A}`
mà `180^o - hat{ABC} = hat{EBM}` (chứng minh trên)
`-> hat{BEM} = hat{EBM} - hat{A}`
`-> hat{EBM} > hat{BEM}`
Xét `BME` có :
`hat{EBM} > hat{BEM}`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`BM < ME`
mà `BM = DM` (chứng minh trên)
`-> DM < ME`
