Giải thích các bước giải:
Gọi $I\left ( a; b \right )$ là tâm của đường tròn cần tìm
Do đường tròn đi qua $2$ điểm $A, B$ nên ta có:
$IA = IB = R$
$\Rightarrow IA^{2} = IB^{2}$
$\Rightarrow \left ( a + 1 \right )^{2} + b^{2} = \left ( a - 1 \right )^{2} + \left ( b - 2 \right )^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2} + 2a + 1 + b^{2} = a^{2} - 2a + 1 + b^{2} - 4b + 4$
$\Leftrightarrow a + b = 1$
$\Leftrightarrow b = 1 - a$
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $d: x - y - 1 = 0$ nên ta có:
$IA = d_\left ( I; d \right ) = R$
$\Rightarrow \sqrt{\left ( a + 1 \right )^{2} + b^{2}} = \dfrac{\left | a - b - 1 \right |}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \left ( a + 1 \right )^{2} + b^{2} = \dfrac{\left ( a - b - 1 \right )^{2}}{2}$
$\Leftrightarrow a^{2} + 2a + 1 + b^{2} = \dfrac{a^{2} + b^{2} - 2ab - 2a + 2b + 1}{2}$
$\Leftrightarrow 2a^{2} + 4a + 2 + 2b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab - 2a + 2b + 1$
$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2ab + 6a - 2b + 1 = 0$
Có $b = 1 - a$ suy ra:
$a^{2} + \left ( 1 - a \right )^{2} + 2a\left ( 1 - a \right ) + 6a - 2\left ( 1 - a \right ) + 1 = 0$
$\Leftrightarrow a^{2} + a^{2} - 2a + 1 + 2a - 2a^{2} + 6a - 2 + 2a + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 8a = 0$
$\Leftrightarrow a = 0$
$\Rightarrow b = 1$
$\Leftrightarrow \left ( C \right ): x^{2} + \left ( y - 1 \right )^{2} = 2$
