Giải thích các bước giải:
Ta có:
$f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m - 3} \right)$
a) Để $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m - 3} \right) > 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow x + 2m - 3 > 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow m > \dfrac{{3 - x}}{2},\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \dfrac{{3 - x}}{2}\\
\Leftrightarrow m > 1
\end{array}$
Vậy $m>1$ thỏa mãn đề
b) Để $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m - 3} \right) > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
\Leftrightarrow x + 2m - 3 > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
\Leftrightarrow m > \dfrac{{3 - x}}{2},\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
\Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1;2} \right)} \dfrac{{3 - x}}{2}\\
\Leftrightarrow m > 1
\end{array}$
Vậy $m>1$ thỏa mãn đề
