Đáp án và giải thích các bước giải:
`T={A}/{B}=A:B={\sqrt[x]}/{1+\sqrt[x]}:{1}/{\sqrt[x]-2}`
`T={\sqrt[x]}/{1+\sqrt[x]}.(\sqrt[x]-2)`
`T={x-2\sqrt[x]}/{\sqrt[x]+1}`
`T={x+2\sqrt[x]+1-(4\sqrt[x]+4)+3}/{\sqrt[x]+1}`
`T={(\sqrt[x]+1)^2-4(\sqrt[x]+1)+3}/{\sqrt[x]+1}`
`T=\sqrt[x]+1+{3}\{\sqrt[x]+1}-4`
Áp dụng BĐT cosi ta có :
`\sqrt[x]+1+{3}\{\sqrt[x]+1}≥2\sqrt[(\sqrt[x]+1).{3}\{\sqrt[x]+1}]=2\sqrt[3]`
`⇒` `\sqrt[x]+1+{3}\{\sqrt[x]+1}-4≥2\sqrt[3]-4`
`⇔` `T≥2\sqrt[3]-4`
`⇒` `T_{min}=2\sqrt[3]-4`
`⇔` `\sqrt[x]+1={3}\{\sqrt[x]+1}`
`⇔` `x=4-2\sqrt[3]`
