Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {x,y > 0} \right)\).
- Phân tích và sử dụng BĐT Cô-si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (\(a,\,\,b \ge 0\)).
- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, giải hệ phương trình tìm \(x,\,\,y\), từ đó đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tình \(T = ab\).
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y > 1\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 2\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = 2x + 3y = 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 5\\\,\,\,\,\, \ge 2\sqrt {6\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)} + 5\\\,\,\,\,\,\, = 2.\sqrt {6.2} + 5 = 4\sqrt 3 + 5\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 2\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 4\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 1} \right)^2} = \dfrac{4}{3}\\2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \\y = 1 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(P = 2x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\sqrt 3 + 5\) khi và chỉ khi:
\(3x - 2y = 3\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - 2\left( {1 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) = 1 + \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{5}{3} \Rightarrow T = ab = \dfrac{5}{3}\).
Chọn C.
