$y=\dfrac{3x}{x^2+1}$
$y'=\dfrac{(3x)'(x^2+1)-3x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}$
$=\dfrac{3x^2+3-6x^2}{(x^2+1)^2}$
$=\dfrac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2}$
$y'=0\Leftrightarrow -3x^2+3=0$
$\Leftrightarrow x=\pm 1$
$y'(0)=\dfrac{3}{1}=3>0$
$\Rightarrow y'>0$ khi $x\in(-1;1)$
Vậy hàm đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến trên $(-\infty;-1)$,$(1;+\infty)$