Đáp án: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Giải thích các bước giải:
$f\left( x \right)=x+1-\dfrac{2}{x-3}$
$D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$
Với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;3 \right)$ và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$
Ta có: $\begin{cases}x_1-3<0\\x_2-3<0\end{cases}\Leftrightarrow\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)>0$
Có: $f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( {{x}_{1}}+1-\dfrac{2}{{{x}_{1}}-3} \right)-\left( {{x}_{2}}+1-\dfrac{2}{{{x}_{2}}-3} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+2\left( \dfrac{1}{{{x}_{2}}-3}-\dfrac{1}{{{x}_{1}}-3} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+2\cdot \dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{\left( {{x}_{1}}-3 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)}$
$\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ 1+\dfrac{2}{\left( {{x}_{1}}-3 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)} \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=1+\dfrac{2}{\left( {{x}_{1}}-3 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)}>0\,\,\forall x\in \left( -\infty ;3 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;3 \right)$
Chứng minh tương tự trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$
Ta được $f\left( x \right)$ cũng đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$
Vậy $f\left( x \right)$ đồng biến trên từng khoảng xác định $\left( -\infty ;3 \right)$ và $\left( 3;+\infty \right)$
