Đáp án:
Mệnh đề sai
Giải thích các bước giải:
+) Nếu $n \vdots 4 ⇒ n = 4k ( k ∈ N )$
⇒ $n^{2} + 1 = 16k^{2} + 1$
Nhấn xét : $ (16k^{2} + 1 ) : 4 $ dư 1
⇒ $n \vdots 4$ thì $n^{2} + 1$ không chia hết cho 4
+) Nếu $n : 4$ dư 1 ⇒ $n = 4k + 1 ( k ∈ N )$
⇒ $n^{2} + 1 = ( 4k + 1 )^{2} + 1$
⇔ $n^{2} + 1 = 16k^{2} + 8k + 1 + 1 = 16k^{2} + 8k + 2$
Nhận xét : $( 16k^{2} + 8k + 2 ) : 4$ dư 2
⇒ $n : 4$ dư 1 thì $n^{2} + 1$ không chia hết cho 4
+) Nếu $n : 4$ dư 2 ⇒ $n = 4k + 2 ( k ∈ N )$
⇒ $n^{2} + 1 = ( 4k + 2 )^{2} + 1$
⇔ $n^{2} + 1 = 16k^{2} + 16k + 4 + 1 = 16k^{2} + 16k + 5$
Nhận xét : $( 16k^{2} + 16k + 5 ) : 4$ dư 1
⇒ $n : 4$ dư 2 thì $n^{2} + 1$ không chia hết cho 4
+) Nếu $n : 4$ dư 3 ⇒ $n = 4k + 3 ( k ∈ N )$
⇒ $n^{2} + 1 = ( 4k + 3 )^{2} + 1$
⇔ $n^{2} + 1 = 16k^{2} + 24k + 9 + 1 = 16k^{2} + 24k + 10$
Nhận xét : $( 16k^{2} + 24k + 10 ) : 4$ dư 2
⇒ $n : 4$ dư 3 thì $n^{2} + 1$ không chia hết cho 4
Kết hợp các trường hợp
⇒ Không tồn tại $n ∈ N$ để $n^{2} + 1 \vdots 4$
