Đáp án:
Dãy $u_n$ là dãy tăng
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{3{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} - \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) - 2n - 2 + 1}}{{n + 2}} - \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3{n^2} + 4n + 2}}{{n + 2}} - \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - 8\left( {n + 2} \right) + 6}}{{n + 2}} - \dfrac{{3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) - 8\left( {n + 1} \right) + 6}}{{n + 1}}\\
= 3\left( {n + 2} \right) - 8 + \dfrac{6}{{n + 2}} - 3\left( {n + 1} \right) + 8 - \dfrac{6}{{n + 1}}\\
= 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} - \dfrac{6}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 6\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\
= \dfrac{{3{n^2} + 9n + 6 - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\,\,\,\forall n \in {N^*}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}\)
Vậy dãy $u_n$ là dãy tăng.
