Đáp án:
$+) \quad B = -1$ khi $a + b + c = 0$
$+)\quad B = 8$ khi $a + b + c \ne 0$
Giải thích các bước giải:
+) Khi $a + b + c = 0$ ta được:
$\quad \begin{cases}a + b = - c\\b + c = -a\\c + a = - b\end{cases}$
$\to \begin{cases}\dfrac{a + b}{a} =- \dfrac{c}{a}\\\dfrac{b + c}{b} = -\dfrac{a}{b}\\\dfrac{c + a}{c} = -\dfrac{b}{c}\end{cases}$
$\to \begin{cases}1 +\dfrac{b}{a} = -\dfrac{c}{a}\\1+\dfrac{c}{b} =- \dfrac{a}{b}\\1+\dfrac{a}{c} = -\dfrac{b}{c}\end{cases}$
Do đó:
$B = \left(1 +\dfrac{b}{a}\right)\left(1 +\dfrac{c}{b}\right)\left(1 +\dfrac{a}{c}\right)$
$\to B = \left(-\dfrac ca\right)\left(-\dfrac ab\right)\left(-\dfrac bc\right)$
$\to B = (-1).(-1).(-1) = -1$
+) Khi $a + b + c\ne 0$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
$\dfrac{a + b - c}{c}=\dfrac{b + c -a}{a}=\dfrac{c + a - b}{b}=\dfrac{a + b - c + b + c - a + c + a - b}{a + b + c}=1$
$\to \begin{cases}a + b - c = c\\b + c - a = a\\c + a - b = b\end{cases}$
$\to \begin{cases}a + b = 2c\\b + c = 2a\\c + a = 2b\end{cases}$
$\to \begin{cases}\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2c}{a}\\\dfrac{b + c}{b} = \dfrac{2a}{b}\\\dfrac{c + a}{c} = \dfrac{2b}{c}\end{cases}$
$\to \begin{cases}1 +\dfrac{b}{a} = \dfrac{2c}{a}\\1+\dfrac{c}{b} = \dfrac{2a}{b}\\1+\dfrac{a}{c} = \dfrac{2b}{c}\end{cases}$
Ta được:
$B = \left(1 +\dfrac{b}{a}\right)\left(1 +\dfrac{c}{b}\right)\left(1 +\dfrac{a}{c}\right)$
$\to B = \dfrac{2c}{a}\cdot\dfrac{2a}{b}\cdot\dfrac{2b}{c}$
$\to B =2\cdot 2 \cdot 2 = 8$
