Đáp án:
$(x;y)=\{(t;0);(9;-6);(9;-21);(8;-10);(-1;-1)\}\quad (t\in\Bbb Z)$
Giải thích các bước giải:
$\quad (x^2 + y)(x+y^2) = (x-y)^3$
$\to y(x^2y + 3x^2 - 3xy + x + 2y^2)=0$
$\to y[2y^2 - (x^2 - 3x)y + 3x^2 + x] = 0$
$\to \left[\begin{array}{l}y = 0\\2y^2 - (x^2 - 3x)y + 3x^2 + x=0\qquad (*)\end{array}\right.$
$+)\quad y = 0\to (*)$ nghiệm đúng với mọi $x$
$\to$ Phương trình có nghiệm $(t;0)\quad (t\in\Bbb Z)$
$+)\quad y \ne 0$
$\to 2y^2 - (x^2 - 3x)y + 3x^2 + x=0\qquad (**)$
Xem $(**)$ là phương trình bậc hai ẩn $y$
Khi đó, phương trình có nghiệm nguyên
$\to \sqrt{\Delta_{(**)}}$ nguyên
$\to \Delta_{(**)}$ là số chính phương
Ta có:
$\Delta = (x^2 - 3x)^2 - 8(3x^2 + x)= (x+1)^2x(x-8)$
Do $(x+1)^2$ là số chinh phương
nên $x(x-8)$ là số chính phương
$\to x(x-8)= k^2\quad (k\in\Bbb N)$
$\to x^2 - 8x + 16 - k^2 = 16$
$\to (x-4-k)(x-4+k)=16$
$\to (x-4-k;x-4+k)\in\{(16;1);(1;16);(2;8);(8;2);(4;4);(-16;-1);(-1;-16);(-2;-8);(-8;-2);(-4;-4)\}$
Giải từng trường hợp và kết hợp điều kiện $k\in\Bbb N;\, x\in \Bbb Z$ để loại nghiệm, ta được:
$x \in \{9;8;-1\}$
$\to y = \{-6;-21;-10;-1\}$
Vậy phương trình có các cặp nghiệm là:
$(x;y)=\{(t;0);(9;-6);(9;-21);(8;-10);(-1;-1)\}\quad (t\in\Bbb Z)$
