Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích \(150{m^3}.\) Đáy bể làm bằng bê tông giá \(100{\rm{ }}000\)đ/\({m^2}.\) Phần thân làm bằng vật liệu chống thấm giá \(90{\rm{ }}000\) đ/\({m^2},\) nắp bằng nhôm giá \(120{\rm{ }}000\) đ\(/{m^2}.\) Hỏi tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu để chi phí sản xuất bể đạt giá trị nhỏ nhất
A.\(\dfrac{{31}}{{22}}\).
B.\(\dfrac{{22}}{{31}}\).
C.\(\dfrac{9}{{22}}\).
D.\(\dfrac{{22}}{9}\).

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ \(23\) số nguyên dương đầu tiên, xác suất để chọn được hai số có tích là một số lẻ là:
A.\(\dfrac{{11}}{{23}}\).
B.\(\dfrac{{12}}{{23}}\).
C.\(\dfrac{6}{{23}}\).
D.\(\dfrac{1}{2}\).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.
A.\(V = \dfrac{{4{a^3}}}{3}.\)
B.\(V = 4\sqrt 7 {a^3}.\)
C.\(V = \dfrac{{4\sqrt 7 {a^3}}}{9}.\)
D.\(V = \dfrac{{4\sqrt 7 {a^3}}}{3}.\)

Biến đổi \({x^{\frac{4}{3}}}.{x^{\frac{7}{3}}}.\sqrt[3]{{{x^2}}},(x > 0)\) thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được:
A.\({x^{\frac{{13}}{3}}}\).
B.\({x^{\frac{{13}}{{27}}}}\).
C.\({x^{\frac{{11}}{9}}}\).
D.\({x^{\frac{{56}}{{27}}}}\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình \(f\left( x \right) < m - {{\rm{e}}^{ - x}}\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) khi và chỉ khi
A.\(m > f\left( { - 2} \right){\rm{ + }}{{\rm{e}}^2}.\)
B.\(m \ge f\left( 2 \right) + \dfrac{1}{{{{\rm{e}}^2}}}.\)
C.\(m \ge f\left( { - 2} \right){\rm{ + }}{{\rm{e}}^2}.\)
D.\(m > f\left( 2 \right) + \dfrac{1}{{{{\rm{e}}^2}}}.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi và có thể tích bằng \(2\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(SB\) và \(SD\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = k\). Tìm giá trị của \(k\) để thể tích khối chóp \(S.AMN\) bằng \(\dfrac{1}{8}\).
A.\(k = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.\)
B.\(k = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
C.\(k = \dfrac{1}{8}.\)
D.\(k = \dfrac{1}{4}.\)

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0,{\rm{ }}d > 0\)
B.\(a < 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c > 0,{\rm{ }}d < 0\).
C.\(a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c > 0,{\rm{ }}d < 0\).
D.\(a < 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c < 0,{\rm{ }}d < 0\).

Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = 60^\circ ,\) \(SA = a,\) \(SB = 2a,\) \(SC = 4a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
A.\(\dfrac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
B.\(\dfrac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
C.\(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AC = 2a,\,\,BD = 4a\). Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\).
A.\(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
B.
C.\(\dfrac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).
D.\(\dfrac{{4a\sqrt {1365} }}{{91}}\).

Cho \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số thực khác \(0\) thỏa mãn \({4^a} = {25^b} = {10^c}\). Tính \(T = \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\).
A.\(T = \dfrac{1}{2}.\)
B.\(T = 2.\)
C.\(T = \sqrt {10} .\)
D.\(T = \dfrac{1}{{10}}.\)