Giá trị của giới hạn $\displaystyle \lim \left( \frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{2}{{{n}^{2}}}+...+\frac{n-1}{{{n}^{2}}} \right)$ bằng A. 0. B. $\displaystyle \frac{1}{3}.$ C. $\displaystyle \frac{1}{2}.$ D. 1.
Đáp án đúng: C Ta có: $\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{2}{{{n}^{2}}}+...+\frac{n-1}{{{n}^{2}}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}\left( 1+2+\cdots +n-1 \right)=\frac{1}{{{n}^{2}}}.\frac{\left( n-1 \right)\left( 1+n-1 \right)}{2}=\frac{{{n}^{2}}-n}{2{{n}^{2}}}.$ Do đó:$\displaystyle \lim \left( \frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{2}{{{n}^{2}}}+...+\frac{n-1}{{{n}^{2}}} \right)=\lim \frac{{{n}^{2}}-n}{2{{n}^{2}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.