Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 30x\) trên đoạn \(\left[ {2\;;\;19} \right]\) bằng A.\(20\sqrt {10} \). B.\( - 63\). C.\( - 20\sqrt {10} \). D.\( - 52\).
Đáp án đúng: C Phương pháp giải: Để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) ta làm như sau: Tìm TXĐ Giải phương trình \(y' = f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\) và các giá trị \({x_j} \in \left[ {a;b} \right]\) làm \(f'\left( x \right)\) không xác định (nếu có) Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)\) Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)Giải chi tiết:Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 30x\) trên đoạn \(\left[ {2;\;19} \right]\). Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 30\). \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {10} \in \left[ {2;19} \right]\\x = - \sqrt {10} \notin \left[ {2;\,19} \right]\end{array} \right.\). Có: \(f\left( 2 \right) = - 52,\,f\left( {\sqrt {10} } \right) = - 20\sqrt {10} ,\,f\left( {19} \right) = 6289\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;19} \right]} f\left( x \right) = - 20\sqrt {10} \). Chọn C.