Đáp án:
$(x; y)=(2; 1)$
Giải thích các bước giải:
$\text{Ta có: $2^x-3^y=1$}$
$⇔ 3^y=2^x-1$
$\text{Vì y > 0 nên $3^y ≡ 0$ (mod 3)}$
$⇒ 2^x-1 ≡ 0 (mod 3)$
$\text{Mặt khác: $2^x-1 ≡ (-1)^x-1$ (mod 3)}$
$⇒ (-1)^x-1=0$
$⇒ (-1)^x=1$
$\text{⇒ x chẵn}$
$\text{Đặt $x=2t$ (t ∈ N)}$
$⇒ 3^y=3^m.3^n=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1)$
$\text{(với $m+n=y$; $m, n ∈ N$ và $m < n$)}$
$⇒ \begin{cases}2^t-1=3^m\\2^t+1=3^n\end{cases}$
$⇒ 3^n-3^m=2$
$\text{⇒ Tồn tại trong m, n 1 số bằng 0}$
$⇒ m=0$
$⇒ 3^n-1=2$
$⇒ n=1$
$⇒ y=m+n=0+1=1$
$⇒ 2^x=1+3^y=1+3=4$
$⇒ x=2$
$\text{Vậy $(x; y)=(2; 1)$}$
