Đáp án:
\[S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}; + \infty } \right)\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x + 2 \ge 0\\
{x^2} - x + 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 2
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^2} - x + 1 = \left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 1 - \sqrt {{x^2} - x + 1} < 0
\end{array}\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{3 - 2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }}{{1 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} > 1\\
\Leftrightarrow \frac{{3 - 2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} - 1 + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{1 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} > 0\\
\Leftrightarrow 2 - 2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} < 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {{x^2} + 3x + 2} < 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sqrt {{x^2} - x + 1} < \sqrt {{x^2} + 3x + 2} \\
\Leftrightarrow 1 + {x^2} - x + 1 + 2\sqrt {{x^2} - x + 1} < {x^2} + 3x + 2\\
\Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - x + 1} < 4x\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1} < 2x\\
\Leftrightarrow {x^2} - x + 1 < 4{x^2}\\
\Leftrightarrow 3{x^2} + x - 1 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\\
x < \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Từ ĐKXD suy ra tập nghiệm của BPT đã cho là \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}; + \infty } \right)\)
