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Có : `a^3 + b^3 - ab (a+b)`
`= a^3 + b^3 - a^2b - ab^2`
`= (a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2)`
`= a^2 (a - b)+ b^2 (b-a)`
`= a^2 (a-b) - b^2 (a-b)`
`=(a-b)(a^2 - b^2)`
`= (a-b) (a-b)(a+b)`
`= (a-b)^2 (a+b)`
Vì `a > 0,b> 0 -> a+b > 0∀a,b`
Lại có : `(a-b)^2 ≥ 0∀a,b`
`-> (a-b)^2 (a+b) ≥ 0∀a,b`
`->a^3 + b^3 - ab(a+b) ≥ 0`
`->a^3 + b^3 ≥ ab (a+b)`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔ (a-b)^2=0 ↔ a-b=0 ↔a=b`
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`d,`
Đặt `A=a^2 + b^2 +c^2 - a(b+c)`
`->A=a^2 + b^2+c^2 - ab-ac`
`->2A=2a^2 +2b^2+2c^2-2ab-2ac`
`->2A=(a^2 -2ab + b^2)+(a^2 -2ac +c^2) + b^2 +c^2`
`->2A=(a-b)^2 + (a-c)^2 +b^2+c^2`
Vì `(a-b)^2 ≥ 0∀a,b`
`(a-c)^2 ≥0∀a,b`
`b^2 ≥0∀b, c^2 ≥0∀c`
`-> (a-b)^2 + (a-c)^2 +b^2 +c^2 ≥ 0∀a,b,c`
`-> 2A ≥ 0`
`->A ≥ 0`
`->a^2 + b^2 +c^2 - a (b+c) ≥ 0`
`->a^2 + b^2+c^2 ≥ a (b+c)`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`(a-b)^2=0 ,(a-c)^2=0,b^2=0,c^2=0`
`↔ a-b=0, a-c =0, b=0, c=0`
`↔ a=b=c=0`
