Giải thích các bước giải:
1.Gọi $T$ là trung điểm $AD$
$\to (T,\dfrac{AD}{2})$ là đường tròn ngoại tiếp $AMDN$
Vì $AD$ là đường kính của $(T)\to MN\le AD$
Vì $\hat A<90^o$ do $\Delta ABC$ nhọn
$\to MN<AD$
Ta có $AD$ là đường kính của $(T)$
$\to DM\perp AB, DN\perp AC$
$\to\widehat{DMB}=\widehat{DHB}=90^o$
$\to DMBH$ nội tiếp
$\to\widehat{ADM}=\widehat{MBH}=\widehat{ABC}$
2.Từ câu a
$\to \widehat{ANM}=\widehat{ADM}=\widehat{ABC}$
$\to BCNM$ nội tiếp
3.Ta có:
$\widehat{KEM}=\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
$\to KEMB$ nội tiếp
$\to \widehat{EMK}=\widehat{EBK}=\widehat{EAC}=180^o-\widehat{EMN}$
$\to \widehat{EMK}+\widehat{EMN}=180^o$
$\to\widehat{KMN}=180^o$
$\to K,M,N$ thẳng hàng
4.Ta có: $\widehat{AMD}=\widehat{AHB}=90^o,\widehat{MAD}=\widehat{BAH}$
$\to\Delta AMD\sim\Delta AHB(g.g)$
$\to\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AD}{AB}$
$\to AM.AB=AD.AH$
Ta có: $\widehat{AMI}=\widehat{AMN}=\widehat{ACB}=\widehat{AFB},\widehat{MAI}=\widehat{BAF}$
$\to\Delta AMI\sim\Delta AFB(g.g)$
$\to\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{AI}{AB}$
$\to AM.AB=AF.AI$
$\to AD.AH=AI.AF$
