Vì $n$ chia $7$ dư $4$ nên $n$ có dạng: $n=7k+4$ $(k∈N)$
$→ n^2=(7k+4)^2=49k^2+56k+16=49k^2+56k+14+2$
Ta có: $49k^2+56k+14=7(7k^2+8k+2)\vdots7$
$→ n^2$ chia $7$ dư $2$
$n^3=(7k+4)^3=343k^3+588k^2+336k+64$
$=7(49k^3+84k^2+48k+9)+1$
Vì $7(49k^3+84k^2+48k+9)\vdots7$ nên $n^3$ chia $7$ dư $1$.