a) Ta có: $H$ là trực tâm của $ΔABC$ $(gt)$
$\Rightarrow AH\perp BC; \, BH\perp AC; \, CH\perp AB$
Ta lại có: $CI\perp BC \Rightarrow CI//AH \, (\perp BC)$
$AI\perp AB \Rightarrow AI//CH \, (\perp AB)$
Xét tứ giác $AICH$ có:
$CI//AH$
$AI//CH$
Do đó $AICH$ là hình bình hành
b) Ta có: $ΔCBI$ vuông tại $C$
$O$ là trung điểm cạnh huyền $BI$ $(gt)$
$\Rightarrow OB = OC = OI$
mà $NB = NC$
$\Rightarrow ON$ là trung trực của $BC$
$\Rightarrow ON\perp BC$
Chứng minh tương tự, ta được: $OM$ là trung trực của $AC$
$\Rightarrow OM\perp AC$
$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$
Ta có: $AM = MC \, (gt)$
$BN = NC \, (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN//AB; \, MN=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{NMC}$ (đồng vị)
mà $\widehat{ABH} + \widehat{BAC} = 90^o$
$\widehat{OMN} + \widehat{NMC} = \widehat{OMC} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{OMN}$
Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{HAB} = \widehat{ONM}$
Xét $ΔHAB$ và $ΔONM$ có:
$\widehat{ABH} = \widehat{OMN} \, (cmt)$
$\widehat{HAB} = \widehat{ONM} \, (cmt)$
Do đó $ΔHAB\sim ΔONM \, (g.g)$
$\dfrac{HB}{OM} = \dfrac{AB}{MN}$
$\Rightarrow AB.OM = MN.H$
c) Do $ΔHAB\sim ΔONM$
nên $\dfrac{HA}{ON} = \dfrac{AB}{MN} = 2$
mà $\dfrac{GA}{GN} = 2$ (tính chất đường trung tuyến)
$\Rightarrow \dfrac{HA}{ON} = \dfrac{GA}{GN}$
Xét $ΔHAG$ và $ΔONG$ có:
$\dfrac{HA}{ON} = \dfrac{GA}{GN} \, (cmt)$
$\widehat{HAG} = \widehat{ONG}$ (so le trong)
Do đó $ΔHAG \sim ΔONG \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{HG}{OG} = \dfrac{GA}{GN} = 2$
$\Rightarrow HG = 2OG$
Mặt khác: $\widehat{HAG} = \widehat{OGN}$
mà $A, G, N$ thẳng hàng
nên $H, G, O$ thẳng hàng
