Giải chi tiết :
Theo như ta có, A=$\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ =$\frac{x+y}{xy}$ =$\frac{2a}{xy}$ (1)
Theo Bất Đẳng Thức Cô-si với trường hợp hai số đều dương là:
⇔$x^{2}$ +$y^{2}$ $\geq$ 2xy
⇒$x^{2}$ +$y^{2}$ +2xy$\geq$ 4xy
⇒$(x+y)^{2}$ $\geq$ 4xy
⇒ xy$\leq$ $\frac{(x+y)^{2} }{4 }$ =$\frac{4a^{2}}{4}$=$a^{2}$ (2)
Từ (1) VÀ (2) ⇒ A$\geq$ $\frac{2a}{a^{2} }$=$\frac{2}{a}$
Vậy $A_{min}$ = $\frac{2}{a}$ ⇔ x=y=a
⊕ Khái niệm :
∵ BĐT cô-si với a,b không âm : Với a,b=0 thì BĐT luôn luôn đúng.
∵ Còn a,b≥0 ta chứng minh theo cách sau:
∴ Gợi ý chứng minh:
$\frac{a+b}{2}$ $\geq$ $\sqrt[]{ab}$
⇔a+b$\geq$ 2.$\sqrt[]{ab}$
⇔ a-2.$\sqrt[]{ab}$ +b$\geq$ 0
⇔( $\sqrt[]{a}$ -$\sqrt[]{b}$ ) .2$\geq$ 0 ( vì 1 số luôn bình phương luôn luôn không âm)
⇒BĐT luôn luôn đúng với ∀ a,b không âm
