Bài 4:
+ Ta có: $DH ⊥ (ABC) ⇒ DH ⊥ AB$. $(1)$
+ $H$ là trực tâm $∆ABC ⇒ CH ⊥ AB$ . $(2)$
+ Từ $(1)$ và $(2) ⇒ AB ⊥ (CDH) ⇒ AB ⊥ CD$.
+ Mà: $BD ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (ABD) ⇒ CD ⊥ DA$.
+ Chứng minh tương tự, ta có: $DB ⊥ DA$.
$AB^{2} = AD^{2} + BD^{2}$.
+ Ta có: $BC^{2} = BD^{2} + CD^{2}$.
$⇒ CA^{2} = CD^{2} + AD^{2} + AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2} + CD^{2})$. $(3)$
+ Mặt khác:
$2AB.BC = 2\sqrt {AD^{2} + BD^{2}}.\sqrt {BD^{2} + CD^{2}} ≤ (AD^{2} + BD^{2}) + (BD^{2} + CD^{2}) = AD^{2} + 2BD^{2} + CD^{2}$.
+ Tương tự: $2AB.AC ≤ 2AD^{2} + BD^{2} + CD^{2}$.
$2BC.AC ≤ AD^{2} + BD^{2} + 2AC^{2}$.
$⇒ 2(AB.BC + BC.AC + AC.AB) ≤ 4(AD^{2} + BD^{2} + CD^{2})$. $(4)$
+ Từ $(3)$ và $(4) ⇒ (AB + BC + AC)^{2} ≤ 6(AD^{2} + BD^{2} + CD^{2})$ (đpcm).
------------------------------
XIN HAY NHẤT
CHÚC EM HỌC TỐT
