Đáp án:$m=n=4$
Giải thích các bước giải:
$+\text{Nếu n=0 thì phương trình vô nghiệm suy ra n>0 }\rightarrow 3^n\quad\vdots\quad 3$
$\rightarrow 1+5.2^m\quad\vdots\quad 3\rightarrow m\quad chẵn$
$\text{Nếu m=0 thì vế trái chẵn suy ra phương trình vô nghiệm suy ra m>0}$
$\rightarrow 1+5.2^m\equiv 1(mod4)\text{(do m chẵn)}\rightarrow 3^n\equiv 1(mod4)$
$\rightarrow \text{n=2k}$
$\rightarrow\text{Đề bài trở thành}$
$1+5.2^n=3^{2k}\rightarrow 5.2^n=(3^k)^2-1=(3^k-1)(3^k+1)$
$\rightarrow TH1:3^k-1=5.2^x$
$3^k+1=2^y\text{(Với x+y=m)}$
$\rightarrow 2^y-5.2^x=2$
$\text{Nếu x,y >1}\rightarrow VT\quad\vdots\quad 4\rightarrow \text{Phương trình vô nghiệm}$
$\rightarrow Từ\quad 2(2^{y-1}-1)=5.2^x\rightarrow 2^{y-1}-1=5.2^{x-1}\rightarrow\text{x=1 hoặc y=1 thì phương trình vô nghiệm}$
$+TH2: 3^k+1=5.2^x\quad và \quad 3^k-1=2^y$
$\rightarrow 5.2^{x-1}-3^{y-1}=1\text{ tương tự th1 }\\\rightarrow x=1, y=3\rightarrow k=2\rightarrow n=m=4$
