$x² - 2(m - 1)x - m - 3 = 0$
a) Ta có:
$Δ = 4(m - 1)² + 4(m + 3) = 4m² - 8m + 4 + 4m + 12 = 4m² - 4m + 1 + 15 = (2m - 1)² + 15 > 0$ với mọi m
Vậy PT luôn có 2 nghiệm PB
b)
Ta có hệ thức Vi - ét: $\left \{ {{x_{1}+x_{2}=2(m-1)} \atop {x_{1}.x_{2}=-m-3}} \right.$
Theo đề bài ta có:
$A = x_{1}² + x_{2}²$
$= (x_{1} + x_{2})² - 2x_{1}x_{2}$
$= 4(m - 1)² - 2(-m - 3)$
$= 4m² - 8m + 4 + 2m + 6$
$=4m² - 6m + \frac{9}{4} + \frac{31}{4}$
$= (2m - \frac{3}{2})² + \frac{31}{4}$
Vậy GTNN là $ \frac{31}{4}$ đạt được khi: $(2m - \frac{3}{2})² = 0$
$⇔2m - \frac{3}{2} = 0$
$⇔ m = \frac{3}{4}$
Vậy $m = \frac{3}{4}$
