Đáp án:
a) (SAB) và (SAD) vuông góc với (ABCD)
=> SA vuông (ABCD)
=> góc giữa SC với (ABCD) là góc SCA = 45 độ
=> SA = AC = $a\sqrt 5 $
=> SC =$a\sqrt 10 $
$ \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 5 .2{a^2} = \frac{{2\sqrt 5 {a^3}}}{3}$
b) Gọi đường thẳng qua O song song với SA cắt SC tại I
=> IO vuông góc (ABCD) và I là trung điểm của tg vuông SAC
=> IA = IS = IC
=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABCD
$ \Rightarrow R = SI = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$
c)
$\begin{array}{l}
AH = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\\
DH = \frac{{A{D^2}}}{{BD}} = \frac{{4{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 a}}{5}\\
\Rightarrow {S_{AHCD}} = {S_{AHD}} + {S_{HDC}}\\
= \frac{1}{2}.AH.HD + \frac{1}{2}.DH.DC.sin\angle HDC\\
= \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}.\frac{{4\sqrt 5 a}}{5} + \frac{1}{2}.\frac{{4\sqrt 5 a}}{5}.a.\frac{{BC}}{{BD}}\\
= \frac{{8{a^2}}}{5}\\
\Rightarrow {V_{SAHCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{AHCD}} = \frac{{8\sqrt {15} }}{5}{a^3}
\end{array}$
d) Kẻ CK vuông góc AH tại K
=> CK vuông góc (SAH) (do SA vuông CK)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {d_{C - (SAH)}} = CK\\
Do:\frac{{OH}}{{CK}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow CK = 2OH = DH - DO = \frac{{4\sqrt 5 a}}{5} - \frac{{\sqrt 5 a}}{2} = \frac{{3\sqrt 5 a}}{{10}}
\end{array}$
