Đáp án:
1) $S = \dfrac{a^2\pi}{2}$
2) $R = a$
3) $R = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
Giải thích các bước giải:
1) Ta có công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh $a$
$$\boxed{R = \dfrac{a\sqrt2}{4}}$$
Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh $a$ là:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi\cdot \left(\dfrac{a\sqrt2}{4}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{2}$
2) Ta có:
$ΔABC$ vuông cân tại $B;\, AB = BC = a$
$\to AC = a\sqrt2$
Mặt khác:
$SA\perp (ABC)$
$\to \widehat{(SC;(ABC))} = \widehat{SCA} = 45^\circ$
$\to SA = AC = a\sqrt2$
$\to ΔSAC$ vuông cân tại $A$
$\to SC = 2a$
Gọi $I$ là trung điểm $SC$
$\to IS = IC = IA =\dfrac12SC = a$
$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
$\to R = IA = a$
3) Ta có:
$ΔABC$ vuông cân tại $B;\, AB = BC = a$
$\to AC = a\sqrt2$
Mặt khác:
$SA\perp (SBC)$
$\to SA\perp AB$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$+) \quad SB^2 = SA^2 + AB^2$
$\to SA^2 = SB^2 - AB^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$
$+) \quad SC^2 = SA^2 +AC^2 = 3a^2 + 2a^2$
$\to SC = a\sqrt5$
Gọi $I$ là trung điểm $SC$
$\to IS = IC = IA = \dfrac12SC = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
$\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
$\to R = IA = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
