Đáp án:

$x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{{4\pi }}{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right)$

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $x\ne \dfrac{k\pi}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\tan x - 3\cot x = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\sin }^2}x - 3{{\cos }^2}x}}{{\cos x.\sin x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)}}{{\sin 2x}} = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\\
\sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\\
\dfrac{1}{2}\sin x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 0\\
\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \dfrac{\pi }{3} = k\pi \\
x - \dfrac{\pi }{3} = 2x + k2\pi \\
x - \dfrac{\pi }{3} = \pi  - 2x + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\
x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{{4\pi }}{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có các họ nghiệm là:

$x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{{4\pi }}{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right)$