Đáp án:
$m = 0$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(H)$ và $(d):$
$\dfrac{2x - 1}{x-1} = (m^2 + 1)x - 2$
$\Leftrightarrow 2x - 1 = [(m^2 + 1)x - 2](x-1)$
$\Leftrightarrow (m^2 + 1)x^2 - (m^2 + 5)x + 3 =0 \quad (*)$
$(H)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt
$\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow (m^2 + 5)^2 - 12(m^2 + 1) > 0$
$\Leftrightarrow m^4 - 2m^2 + 13 > 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow (H)$ luôn cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt
Với $x_1;\, x_2$ là nghiệm của $(*)$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{m^2 + 5}{m^2 + 1}\\x_1x_2 = \dfrac{3}{m^2 + 1}\end{cases}$
Ta có:
$P = 12(x_1 + x_2) + 11x_1x_2$
$\to P = 12.\dfrac{m^2 + 5}{m^2 + 1} + 11.\dfrac{3}{m^2 + 1}$
$\to P = \dfrac{12m^2 + 93}{m^2 + 1}$
Xét $f(m) = \dfrac{12m^2 + 93}{m^2 + 1}$
$\to f'(m) = - \dfrac{162m}{(m^2 + 1)^2}$
$f'(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0$
- $f(m)$ đồng biến trên $(-\infty;0)$
- $f(m)$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$
$\to f(m)$ đạt cực đại tại $m = 0$
$\to \max f(m) = f(0) = 93$
$\to \max P = 93 \Leftrightarrow m = 0$
