Câu 1:

$\quad f(x,y,z) = \ln(x^3 + 2y^2  -z)$

Ta có:

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{3x^2}{x^3 + 2y^2 -z}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{4y}{x^3 + 2y^2 -z}$

$\dfrac{\partial f}{\partial z} =- \dfrac{1}{x^3 + 2y^2 -z}$

Do đó:

$df = \dfrac{3x^2}{x^3 + 2y^2 -z}dx +  \dfrac{4y}{x^3 + 2y^2 -z}dy - \dfrac{1}{x^3 + 2y^2 -z}dz$

Ta được:

$df(2,0,-1) = \dfrac{4}{3}dx - \dfrac19dz$

Câu 2:

$\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(x+2y)dxdy$ với $D:\begin{cases}y = 2x\\x = 0\\x+y = 3\end{cases}$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$2x = 3 - x \Leftrightarrow x = 1$

Miền $D$ được biểu diễn:

$D:\{(x,y): 0\leqslant x \leqslant 1;\ 2x \leqslant y \leqslant 3 - x\}$

Ta được:

$\quad I = \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_{2x}^{3-x}(x+2y)dy$

$\Leftrightarrow  I = \displaystyle\int\limits_0^1\left[\left(xy + y^2\right)\Bigg|_{2x}^{3-x}\right]dx$

$\Leftrightarrow  I = \displaystyle\int\limits_0^1(-6x^2 - 3x + 9)dx$

$\Leftrightarrow I = \left(-2x^3 - \dfrac{3x^2}{2} + 9x\right)\Bigg|_0^1$

$\Leftrightarrow I = \dfrac{11}{2}$

Câu 3:

$\quad I = \displaystyle\iint\limits_S\sqrt{x^2 + y^2}zdS$ với $S:\begin{cases}z = \sqrt{x^2 + y^2}\\0 \leqslant z \leqslant 4\end{cases}$

Hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng $Oxy$ là miền $D:$

$D: x^2 + y^2 \leqslant 16$

Ta có:

$S:\begin{cases}z = \sqrt{x^2 + y^2}\\D: x^2 + y^2 \leqslant 16\end{cases}$

$\Rightarrow dS = \sqrt{1 + \left(z_x'\right)^2 + \left(z_y'\right)^2}dxdy = \sqrt2dxdy$

Ta được:

$\quad I = \displaystyle\iint\limits_D\sqrt2(x^2 + y^2)dxdy$

$\Leftrightarrow I  =\sqrt2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\displaystyle\int\limits_0^4r^3dr$

$\Leftrightarrow I = 128\pi\sqrt2$

Câu 4:

$\quad y'' +4y' - 5y = 7e^{2x}\qquad (*)$

Phương trình đặc trưng:

$k^2 + 4k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = 1\\k = -5\end{array}\right.$

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$y = C_1e^{x} + C_2e^{-5x}$

Ta có: $f(x) = 7e^{2x}$

Do $\gamma = 2$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng

nên nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$y = e^{2x}.A$

$\Rightarrow y' = 2Ae^{2x}$

$\Rightarrow y'' = 4Ae^{2x}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad 4Ae^{2x} + 4.2Ae^{2x} - 5.Ae^{2x} = 7e^{2x}$

$\Leftrightarrow 7Ae^{2x} = 7e^{2x}$

$\Leftrightarrow A = 1$

$\Rightarrow$ Nghiệm riêng của $(*)$ là:

$y = e^{2x}$

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

$y = C_1e^{x} + C_2e^{-5x} + e^{2x}$

$\Rightarrow y' = C_1e^x - 5C_2e^{-5x} + 2e^{2x}$

Ta lại có:

$\begin{cases}y(0) = 2\\y'(0) = -5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}C_1 + C_2  + 1 = 2\\C_1- 5C_2 + 2 = -5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}C_1 = -\dfrac13\\C_2 = \dfrac43\end{cases}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$y = -\dfrac13e^x + \dfrac43e^{-5x} + e^{2x}$

Câu 5:

$\quad \begin{cases}x = 2t\\y = t^3 - 2t\\z = t^2 + t\end{cases}$

Với $t = 1$ ta được:

$\begin{cases}M(2;-1;2)\\x'(1) = 2\\y'(1) = 1\\z'(1) = 3\end{cases}$

Khi đó:

$+)$ Phương trình tiếp tuyến cần tìm:

$\dfrac{x-2}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-2}{3}$

$+)$ Phương trình pháp diện cần tìm:

$2(x - 2) + 1(y + 1) + 3(z-2) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y + 3z -9 =0$