Đáp án:

 C1: $x = \dfrac{{ - 1}}{2}$

C2: $x = \dfrac{8}{3}$

C3: $m \in \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right)$

Giải thích các bước giải:

 C1:

Ta có:

${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 3 = 0\left( 1 \right)$

Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=3$ 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {3^2} - 3\left( {m + 1} \right) + m - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow 9 - 3\left( {m + 1} \right) + m - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}
\end{array}$

Khi $m = \dfrac{3}{2}$ phương trình $(1)$ trở thành

$\begin{array}{l}
{x^2} - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy với $m = \dfrac{3}{2}$ nghiệm còn lại của phương trình là $x = \dfrac{{ - 1}}{2}$

C2:

Ta có:

${x^2} - \left( {4m + 1} \right)x + 2m - 3 = 0\left( 1 \right)$

Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=-1$ 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {4m + 1} \right)\left( { - 1} \right) + 2m - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow 6m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6}
\end{array}$

Khi $m = \dfrac{1}{6}$ phương trình $(1)$ trở thành:

$\begin{array}{l}
{x^2} - \dfrac{5}{3}x - \dfrac{8}{3} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{8}{3}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = \dfrac{8}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy với $m = \dfrac{1}{6}$ nghiệm còn lại của phương trình là $x = \dfrac{8}{3}$

C3:

Ta có:

${x^2} - 2mx + {m^2} - 3m + 5 = 0\left( 1 \right)$

Phương trình $(1)$ có nghiệm 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - 3m + 5} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow 3m - 5 \ge 0\\
 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{3}
\end{array}$

Vậy $m \in \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right)$ thỏa mãn đề.